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Quadrati di serie di polimini


In questa pagina consideriamo il problema di tassellare un quadrato con una o piu' serie complete di polimini (scartando eventualmente quelli che contengono un buco). Le soluzioni che ho trovato sono:

Il quadrato 33 ricoperto da monomino, domino e trimini (chiamiamoli (1,2,3)-mini). Il quadrato 99 ricoperto dai (1,4,5)-mini, quello 3131 ottenuto con (2,6,7)-mini e infine il quadrato 61 61 tassellato da ottomini, eptamini, pentamini, trimini e domino.

Secondo un criterio puramente numerico dovrebbe essere possibile ricoprire un quadrato 56 56 con i (2+4+6+8)-mini (senza buchi), perche' 12 + 54 + 356 + 3638 = 5656. Tuttavia, e' possibile dimostrare come segue che questa ricopertura e' impossibile.

Immaginiamo di disegnare i polimini sulle caselle di una scacchiera. Alcuni pezzi, per esempio, il domino o il tetramino quadrato, comunque vengano disposti ricopriranno sempre due caselle bianche e due nere. Al contrario, il tetramino a T, ricoprira' o 3 caselle bianche e una nera o 3 caselle nere ed una bianca, quindi in ogni caso 2 caselle in piu' di un colore.

Consideriamo adesso un quadrato 66. Puo' essere ricoperto da 9 tetramini T? La risposta e' no, perche' una scacchiera 66 ha tante caselle nere quante bianche, ma ogni tetramino T porta con se' una discrepanza +2 o -2 tra bianco e nero. Siccome dovremmo usare 9 tetramini, e 9 e' dispari. queste discrepanze non possono dare 0. Facendo un conteggio simile si puo' mostrare che i (2,4,6,8)-mini non possono pareggiare le loro discrepanze in modo da ricoprire il quadrato 5656.

Il quadrato successivo di questa serie dovrebbe essere il 107107; da ricoprire con monomino, trimini, esamini e ennamini, ma al momento e' al di la delle mie possibilita'. Per consolarmi, ho ricoperto il quadrato 6363 qui a fianco con il monomino, il domino, i trimini, i tetramini, i pentamini, gli esamini, gli eptamini (compreso quello bucato) e gli ottomini (compreso 1 dei 6 bucati). Il quadrato e' completamente ricoperto a parte due caselle disposte simmetricamente.